Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求∠CNA的度数．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵点M是的中点，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵PC=AC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠P，
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
∴3∠P=90°
∴∠P=30°，
∴∠A=30°，
∴∠CNA=180°-∠ACM-∠A=180°-45°-30°=105°．
分析：（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）由点M是弧AB的中点，即可求得∠ACM的度数，又由PC=AC得到∠A=∠P，接着得到∠A=∠ACO=∠P，而∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°，利用这个等式和已知条件即可求出∠P，然后根据三角形内角和定理，即可求得∠CNA的度数．
点评：此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．