Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）请判断BS与PS的长度之间的关系；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系，并证明；
（3）设AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积的最小值．

Answer 1

解：（1）BS=BS；理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB=AC（已知），
∴∠B=∠C=45°（三角形内角和定理）；
又∵PR⊥BC（已知），
∴∠SPR=45°（三角形内角和定理），
∴∠B=∠BPR（等量代换），
∴BR=PR（等角对等边）；
∵RS是∠PRB的平分线（已知），
∴RS是PB的中垂线（等腰三角形的性质），
∴BS=BS；

（2）PA=TS；证明如下：
由（1）知，RS⊥平板，
∴∠STP+∠SPT=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵四边形PTEF是正方形，
∴∠FPT=90°（正方形的四个内角都是直角），
∴∠APF+∠SPT=90°（平角的定义），
∴∠APF=∠STP（等量代换）；
∴在Rt△FPA和Rt△PTS中，
，
∴Rt△FPA≌Rt△PTS，
∴PA=TS；（全等三角形的对应边相等）；

（3）∵由（1）知，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，
∴BS+PS+PA=1，
∴PS=．
设PA的长为x，正方形PTEF的面积为y，易知AF=PS，
则y=PF²=PA²+PS²，得y=x²+，
即y=x²-x+，
根据二次函数的性质，当x=时，y有最小值为．
如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA=TS为最大．
易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=．
如图3，当P与A重合时，得x=0．
∴x的取值范围是0≤x≤．
∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到；
②当x的值由增大到时，y的值由增大到．
∵≤≤，
∴在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是．
分析：（1）由等腰直角三角形ABC的两个底角相等知∠B=∠C=45°；然后由垂直的定义、三角形内角和推知∠BPR=45°，所以根据等角对等边可以证明△BRP是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证得RS是PB的垂直平分线；
（2）根据全等直角三角形的判定定理AAS证得△FPA≌△PTS；然后由全等三角形的对应边相等即可推知TS=PA；
（3）要求正方形FPTE的面积，那么就要求出它的边长．RS是等腰直角△PRS的高，那么BS=PS，PS=，由（2）证得的全等三角形中我们可得出PS=AF，如果设PA=x，正方形PTEF的面积为y，我们就能用x表示出AF的值，直角三角形APF中，我们就能用x表示出PF²，也就得出了y与x的函数关系式，然后确定x的取值范围，x最小时x=PA=0此时P与A重合，S与T重合，E与R重合．x最大时，T与R重合，此时TS=BS=SP=PA，因此PA=，那么x的范围就是0≤x≤，然后根据函数的性质和自变量的范围求出y的最小值．
点评：本题综合考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．解答（3）题时，注意求出二次函数后，要先讨论出x的取值范围，然后再根据自变量的范围求y的值．