Question

小明学习非常认真刻苦，一天他在自学时发现：在△ABC中，如果AB=AC，P为BC上的任一动点且不为BC的中点，利用老师讲过勾股定理的知识，他很快求证出了AB²-AP²=BP•PC　请你画图试试看，你也一定行！

Answer 1

解：如图，AB=AC．过A作AF⊥BC于F．
在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²；
在Rt△APF中，AF²=AP²-FP²；
∴AB²-BF²=AP²-FP²；
即AB²=AP²+BF²-FP²=AP²+（BF+FP）（BF-FP）；
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC；
∴BF-FP=CF-FP=PC；
∴AB²-AP²=BP•PC．
分析：本题可通过构建直角三角形求解，作BC边上的高AF；可在Rt△ABF和Rt△APF中，分别用勾股定理表示出AF的长，联立两式即可求得所证的结论．
点评：本题考查了勾股定理的应用．作辅助线构造直角三角形是解答本题的突破点，另外代入进行整理后代换出PC也是同学们不容易考虑到的．