Question

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
（1）求证：BD=AE．
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G （如图2），其他条件不变，求证：BD=AE．
（3）在（2）的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3），连接GF，求证：∠AFE=∠BFG．

Answer 1

证明：（1）∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE；

（2）∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAD+∠CAE=90°，
∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE；

（3）过B作BP∥AC交MN于P，
∵BP∥AC，
∴∠PBA+∠BAC=90°，
∴∠BAC=90°，
∴∠PBA=∠BAC=90°，
由（2）得：∠BAP=∠ACF，
∴在△ACF和△ABP中，
，
∴△ACF≌△ABP（ASA），
∴∠AFC=∠BPA，AF=BP
∵BF=AF，
∴BF=BP，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
又∵∠PBA=90°，
∴∠PBG=45°，
∴∠ABC=∠PBG，
在△BFG和△BPG中，
，
∴△BFG≌△BPG（SAS），
∴∠BPG=∠BFG，
∵∠BPG=∠AFE，
∴∠BFG=∠AFE．
分析：（1）首先证明∠1=∠2，再证明△ADB≌△CEA，然后根据全等三角形的性质可得BD=AE；
（2）首先证明∠BAD=∠ACE，再证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE；
（3）首先证明△ACF≌△ABP，然后再证明△BFG≌△BPG，再根据全等三角形对应角相等可得∠BPG=∠BFG，再根据等量代换可得结论∠BFG=∠AFE．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．