Question

如图，E为正方形ABCD的CD边上一点，连接BE，过点A作AF∥BE，交CD的延长线于点F，∠ABE 的平分线分别交AF、AD于点G、H．
（1）若∠CBE=30°，AG=

3

，求DH的长度；
（2）证明：BE=AH+DF．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质以及已知得出∠ABG=∠GBE=30°，∠AGB=∠GBE，求出AB=BG的长，进而得出AH的长，即可得出DH的长；
（2）首先证明△ADF≌△BCE，进而得出∠GBC=∠MBE，再得出BE=EM=AH+DF，即可得出答案．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∵∠CBE=30°且BG平分∠ABE，
∴∠ABG=∠GBE=30°，
∴∠AGB=∠GBE，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG=

3

，
又∵在Rt△ABE中，∠ABG=30°，
∴AH=

3

3

AB=1，
又∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∴DH=

3

-1；
                                                  
（2）证明：将△ABH绕着点B顺时针旋转90°得到△BCM，
∵ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADF=∠C，
∵AF∥BE，
∴∠F=∠BEC，
在△ADF和△BCE中

∠F=∠BEC ∠FDA=∠ECB AD=BC

∴△ADF≌△BCE（AAS），
∴DF=CE，
又由旋转可知：AH=CM，∠AHB=∠M，∠BAH=∠BCM=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠BCM=180°，
∴点E、C、M在同一直线．                     
∴AH+DF=EC+CM=EM，
又∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG=∠GBE，
又∵∠ABH=∠CBM，
∴∠GBE=∠CBM，
∴∠GBE+∠CBE=∠CBM+∠CBE，
即∠GBC=∠MBE，
又∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AHB=∠GBC，
∴∠GBC=∠M，
∴∠M=∠MBE，
∴BE=EM=AH+DF，
∴BE=AH+DF．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质以及等角对等边等知识，根据旋转的性质得出AH+DF=EC+CM=EM是解题关键．