Question

如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求DE的长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．

Answer 1

解：（1）由题意可知，抛物线的对称轴为：x=6， ∴设抛物线的解析式为y=a(x﹣6)2+k， ∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9）， ∴， 解得：a=，k=﹣3， ∴ y=(x﹣6)2﹣3； （2）连接AE， ∵DE是⊙A的切线， ∴∠AED=90°，AE=3． ∵直线l是抛物线的对称轴， 点A，D是抛物线与x轴的交点， ∴AB=BD=3， ∴AD=6． 在Rt△ADE中，DE2=AD2﹣AE2=62﹣32=27， ∴DE=； （3）当BF⊥ED时， ∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF， ∴△AED∽△BFD， ∴，即， ∴BF=； 当FB⊥AD时， ∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB， ∴△AED∽△FBD， ∴，即BF=， ∴当△BFD与△EAD相似时，BF的长为或．