Question

点A（-1，0）B（4，0）C（0，2）是平面直角坐标系上的三点．
①如图1，先过A、B、C作△ABC，然后在在x轴上方作一个正方形D₁E₁F₁G₁，使D₁E₁在AB上，F₁、G₁分别在BC、AC上；
②如图2，先过A、B、C作圆⊙M，然后在x轴上方作一个正方形D₂E₂F₂G₂，使D₂E₂在x轴上，F₂、G₂在圆上；
③如图3，先过A、B、C作抛物线l，然后在x轴上方作一个正方形D₃E₃F₃G₃，使D₃E₃在x轴上，F₃、G₃在抛物线上．
请比较正方形D₁E₁F₁G₁，正方形D₂E₂F₂G₂，正方形D₃E₃F₃G₃的面积大小．

Answer 1

解：①如图1，设正方形的边长为a．
由△CG₁F₁∽△CAB得=，
解得a=，
则正方形D₁E₁F₁G₁的面积=；
②如图2，设正方形的边长为b．
∵点A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴AB是⊙M的直径，
过M点作MN⊥F₂G₂，由垂径定理得（）²+b²=（）²，
解得b²=5，即正方形D₂E₂F₂G₂的面积=5；
③如图3，设正方形的边长为c．
∵过A、B、C作抛物线l，设抛物线方程为y=ax²+bx+c，则
，
解得．
故抛物线方程为y=-x²+x+2，
由轴对称可知F₃（+，c），代入得-×（+）²+×（+）+2=c，
解得c=-4，
∴正方形D₃E₃F₃G₃的面积=57-8．
∵＜5＜57-8，
∴正方形D₁E₁F₁G₁的面积＜正方形D₂E₂F₂G₂的面积＜正方形D₃E₃F₃G₃的面积．
分析：①如图1，设正方形的边长为a．根据相似三角形的性质可得关于a的方程，求得a的值，再根据正方形的面积公式求解；
②如图2，设正方形的边长为b．根据勾股定理的逆定理可得AB是⊙M的直径，根据垂径定理可得关于b的方程，求得b的值，再根据正方形的面积公式求解；
③如图3，设正方形的边长为c．根据待定系数法可得抛物线的解析式，由轴对称可知F₃（+，c），代入抛物线的解析式可得关于c的方程，求得c的值，再根据正方形的面积公式求解．
再将三个正方形的面积进行比较即可求解．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，垂径定理，待定系数法求抛物线的解析式，轴对称的性质，正方形的面积公式及面积的大小比较，综合性较强．