Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，过点B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若BD=12cm，DE=20cm，求CE的长度．

Answer 1

分析：（1）由∠BAC=90°，则∠BAD+∠CAD=90°，又BD⊥MN，CE⊥MN，则∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，AAS即可证明△ABD≌△CAE；
（2）由（1）得，BD=AE，AD=CE，由BD=12cm，则AE=12cm，又DE=20cm，则AD=AE+DE=12cm+20cm=32cm，所以，CE=AD=32cm；

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，又AB=AC，
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠AEC ∠BAD=∠ACE AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵BD=12cm，DE=20cm，
∴AE=12cm，AD=AE+DE=12cm+20cm=32cm，
∴CE=32cm．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．