Question

如图，等腰Rt△ABD中，AB=AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM=AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．
（1）求证：∠BEN=∠BGN．
（2）求的值．
（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BM，推出BE=BM，∠EBA=∠MBA，根据SAS证△BMN≌△BEN，推出∠BMN=∠BEN，证出∠BMN=∠BGN即可；
（2）过G作GH⊥AB，垂足为H，证△BGH≌△ABE，推出BH=AE=AN，求出NG=GH=AB，代入求出即可；
（3）根据ADN≌△BAE，推出BG⊥BE，BG=BE，得出BG∥DN，BG=DN，根据平行四边形的判定判断即可．
解答：（1）证明：连BM，
∵∠BAD=90°，
∴BA⊥EM，
∵AE=AM，
∴BE=BM，∠EBA=∠MBA，
在△BEN和△BMN中
，
∴△BMN≌△BEN，
∴∠BMN=∠BEN，
∵BE=BG=BM，
∴∠BMN=∠BGN，
∴∠BEN=∠BGN．

（2）解：由（1）得，∠GBE=∠GNE=90°，
∴△NME等腰直角三角形，
∴AE=AN，
过G作GH⊥AB，垂足为H，
∴∠H=∠BAE=∠GBE=90°，
∴∠HGB+∠HBG=90°，∠HBG+∠ABE=90°，
∴∠HGB=∠EBA，
在△BGH和△ABE中
，
∴△BGH≌△ABE，
∴BH=AE=AN，
HN=AB=GH，NG=GH=AB，
∴．

（3）解：四边形BDNG是平行四边形，
理由是：∵∠DAN=∠BAE=90°，AN=AE，AB=AD，
∴△ADN≌△BAE，
∴DN⊥BE，DN=BE=BG，
又∵BG⊥BE，BG=BE，
∴BG∥DN，BG=DN
∴四边形BDNG为平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题型较好，但有一定的难度．