Question

如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．
（1）四边形EFGH是平行四边形吗，为什么？
（2）若使四边形ABCD对角线相等，那么四边形EFGH为菱形吗？
（3）当四边形EFGH为矩形，正方形时，那么四边形ABCD各应满足什么条件？
（4）请补上你所认为四边形ABCD应满足的条件，证明四边形EFGH为矩形．

Answer 1

解：（1）四边形EFGH是平行四边形，
连接AC、BD，
∵在△ABD中，E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH平行且等于BD．
∵在△BCD中，F、G分别为BC、CD的中点，
∴GF平行且等于BD．
∴EH平行且等于GF．
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）四边形EFGH是菱形．

（3）当四边形EFGH为矩形时，
AC⊥BD（四边形ABCD为菱形、正方形或者对角线互相垂直的四边形）；
当四边形EFGH为正方形时AC、BD互相垂直且相等

（4）设AC⊥BD于O，EF、BD交于M，EH、AC交于N，
根据（1）的推理可得EF∥AC，EH∥BD，
∴EMON为平行四边形．
∵AC⊥BD，∴∠MON=90°．
∴EMON为矩形，∴∠HEF=90°．
同理可得，∠EHG=90°，∠EFG=90°．
∴四边形EFGH为矩形．
分析：（1）四边形EFGH是平行四边形．连接AC、BD，根据中位线定理可得，四边形EFGH的一组对边平行且相等，则四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果四边形ABCD对角线相等，根据（1）的推理可得四边形EFGH的四边相等，那么四边形EFGH为菱形；
（3）当四边形EFGH为矩形时，AC⊥BD；当四边形EFGH为正方形时AC、BD互相垂直且相等．
（4）证明三个内角等于90°即可．
点评：此题综合性强，主要考查了中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定．