Question

如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点E以2cm/秒的速度从点A向点C运动（与点A，C不重合），过点E作EF∥AB交BC于F点．
（1）求AB的长；
（2）设点E出发x秒后，线段EF的长为ycm．
①求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②试问在AB上是否存在P，使得△EFP为等腰直角三角形？若存在，请说出共有几个，并求出相应的x的值；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB===10（cm）；
∴AB的长为10cm；

（2）①∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∵点E出发x秒后，AE=2xcm，CE=8-2x（cm），
又∵线段EF的长为ycm，
∴，
∴y=-x+10；
∴y与x的函数关系式为y=-x+10（0＜x＜4）；

②存在．
过点E作EP⊥AB于P，当EP=EF时，
△PEF是等腰直角三角形，
∵sin∠A=，
即：，
∴EP=x，
∴x=-x+10，
解得：x=；
同理：当FP⊥AB于P，FP=EF时，△PEF是等腰直角三角形，此时，x=；
当EF的中垂线PK交AB于P，交EF于K，且EF=2PK时，△PEF是等腰直角三角形，
同理可求得：KP=x，
∴2×x=-x+10，
解得：x=．
∴存在这样的点共三个．
分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，根据勾股定理即可求得AB的长；
（2）①由EF∥AB，可得△CEF∽△CAB，又由点E出发x秒后，线段EF的长为ycm，求得AE与EC的长，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y与x的函数关系式；
②分别从当∠PEF=90°，∠PFE=90°与∠EPF=90°去分析求解，利用三角函数的知识即可求得相应的x的值．
点评：此题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用．