Question

如图所示，已知抛物线的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A。
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：
①当S₁＜S＜S₂时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S₁为△OAB的面积，S₂为四边形OACB的面积）；
②当t取何值时，点P在⊙M上。（写出t的值即可）

Answer 1

解：（1）∵点B（0，1）在的图象上， ∴， ∴k=1；
（2）由（1）知抛物线为： ∴顶点A为（2，0）， ∴OA=2，OB=1， 过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m， ∴AD=m-2， 由已知得∠BAC=90°， ∴∠CAD+∠BAO=90°， 又∠BAO+∠OBA=90°， ∴∠OBA=∠CAD， ∴Rt△OAB∽Rt△DCA， ∴，即（或tan∠OBA= tan∠CAD，，即）， ∴n=2（m-2）； 又点C（m，n）在上， ∴ ∴， 即 ∴m=2或m=10； 当m=2时，n=0， 当m=10时，n=16； ∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）；
（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件， ∴点C为（10，16）， 此时， 又点P在函数图象的对称轴x=2上， ∴P（2，t），AP=|t| ∴=|t|， ∵， ∴当t≥0时，S=t， ∴1<t<21， ∴当t<0时，S=-t， ∴-21<t<-1， ∴t的取值范围是：1<t<21或-21<t<-1， ②t=0，1，17。