Question

在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示），点B与点 A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD。

（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径。

Answer 1

解：（1）B与A（1，0）关于原点对称， ∴B（-1，0）， ∵y=x+b过点B， ∴-1+b=0，b=1， ∴y=x+1， 当y=4时，x+1=4，x=3， ∴D（3，4）； （2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4， ∴， 若△POD为等腰三角形，则有以下三种情况， ①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则OP1=OD=5， ∴P1（5，0）； ②以D为圆心，DO为半径作弧x轴的正半轴于点P2，则DP2=DO=5， ∵DE⊥OP2， ∴P2E=OE=3， ∴OP2=6， ∴P2（6，0）； ③取OD的中点K，过K作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则OP3=DP3，易知△OKP3∽△DCO， ∴， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P1（5，0），P2（6，0）； （3）①当P1（5，0）时，P1E=OP1-OE=5-3=2，DE=4， ∴， ⊙P的半径为， ∵⊙O与⊙P外切， ∴⊙O的半径为5-； ②当P2（6，0）时，P2D=DO=5，OP2=6， ∴⊙P的半径为5， ∵⊙O与⊙P外切， ∴⊙O的半径为1； ③当时，P3D=OP3=， ∴⊙P的半径为， ∵⊙O与⊙P外切， ∴⊙O的半径为O，即此时⊙O不存在。