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    8．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
    请解决下列问题：
    （1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM．若AM=2，MN=3，求BN的长；
    （2）如图2，若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点．

    分析 （1）由M、N为线段AB的勾股分割点，利用题中的新定义列出关系式，将MN与AM的长代入求出BN的长即可；
    （2）由F、M、N、G分别为各边中点，得到FM、MN、NG分别为中位线，利用中位线定理得到BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，再利用题中新定义列出关系式，即可得证．

    解答 （1）解∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3，
    ∴BN2=MN2+AM2=9+4=13，
    ∴BN=$\sqrt{13}$；

    （2）证明∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，
    ∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，
    ∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
    ∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，
    ∴EC2=DE2+DB2，
    ∴4NG2=4MN2+4FM2，
    ∴NG2=MN2+FM2，
    ∴点M，N是线段FG的勾股分割点．

    点评 此题考查了勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．

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