Question

如图（1），长方形纸片ABCD的边长AB=2AD，将它沿EF折叠（点E，F分别在边AB，CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP，设

AM

AD

=n，其中0＜n＜1．
（1）当n=

1

2

，即M为AD的中点时，如图（2），求证：EP=AE+DP；
（2）随着n的变化，

BE-CF

AM

的值是否发生变化？说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先延长PM交BA延长线于点G，易证得△GAM≌△PDM，即可得AG=DP，GM=PM，又由线段垂直平分线的性质，可得EG=EP，则可证得EP=AE+DP；
（2）首先连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，可证得△ABM∽△KFE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得

BE-CF

AM

=

1

2

，即

BE-CF

AM

的值不变．

解答：（1）证明：延长PM交BA延长线于点G，
则∠PMD=∠GMA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，
∴∠GAM=∠D=90°，
∵M为AD的中点，
∴AM=MD，
∵在△GAM和△PDM中，

∠GMA=∠PMD AM=DM ∠GAM=∠D

，
∴△GAM≌△PDM（ASA），
∴AG=DP，GM=PM，
由折叠的性质可得：∠EMN=∠B=90°，
∴EM⊥MP，
∴EG=EP，
∵EG=AE+AG=AE+DP，
∴EP=AE+DP；

（2）

BE-CF

AM

的值不变．
理由：连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，
∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，
∴EF⊥MB，
即∠FQO=90°，
∵四边形FKBC是矩形，
∴KF=BC，FC=KB，
∵∠FKB=90°，
∴∠KBO+∠KOB=90°，
∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，
∴∠KBO=∠OFQ，
∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABM∽△KFE，
∴

EK

AM

=

KF

AB

，
即

BE-BK

AM

=

BC

AB

，
∵AB=2AD=2BC，BK=CF，
∴

BE-CF

AM

=

1

2

，
∴

BE-CF

AM

的值不变．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．