Question

H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心．一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂．
求证：AA₁=AA₂=BB₁=BB₂=CC₁=CC₂．

Answer 1

证明：设BC=a，CA=b，AB=c，
△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r．
连HA₁，AH交EF于M，

AA₁²=AM²+A₁M²=AM²+r²-MH²
=r²+（AM²-MH²），①
又AM²-HM²=（AH₁）²-（AH-AH₁）²
=AH•AH₁-AH²=AH₂•AB-AH²
=cosA•bc-AH²，②
而=2R，
?AH²=4R²cos²A，=2R，
?a²=4R²sin²A．
∴AH²+a²=4R²，AH²=4R²-a²．③
由①、②、③有
AA₁²=r²+•bc-（4R²-a²）
=（a²+b²+c²）-4R²+r²．
同理，BB₁²=（a²+b²+c²）-4R²+r²，CC₁²=（a²+b²+c²）-4R²+r²．
故有AA₁=BB₁=CC₁．
分析：只须证明AA₁=BB₁=CC₁即可．
点评：本题考查了三角形的垂心，外心的综合运用，涉及勾股定理，正弦定理的运用，比较复杂，考查了学生分析问题的能力．