Question

已知：在四边形ABCD中，AB=4cm，点E，F，G，H分别按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同时出发，以1cm/秒的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S平方厘米，运动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）当四边形ABCD为正方形时，如图1所示，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，如图3所示．在运动过程中，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）
①∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同
∴AE=BF=CG=DH
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=DA，
∴EB=HA
∴△AEH≌△BFE（SAS）
∴EH=FE（全等三角形的对应边相等）
同理可得：EH=FE=GF=HG
∴四边形EFGH是菱形．
又∵∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE
∴∠BEF+∠AEH=90°
∴∠FEH=90°
∴四边形EFGH为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）

（2）四边形EFGH的面积存在最小值，理由如下：
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延长线于N，
设运动t秒后，四边形EFGH的面积S取最小值，则AE=t，AH=4-t，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴．
同理得．
故，
．
又S_{正方形ABCD}=4×2=8，
∴四边形EFGH的面积．
∴S=（t-2）²+4，
当t=2秒时，四边形EFGH的面积取最小值等于4cm²．
分析：（1）根据题意，易得AE=BF=CG=DH，又由四边形ABCD是正方形，可得∠A=∠B=90°，AB=DA，进而可得四边形EFGH是菱形，又由∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE可得∠FEH=90°，可证四边形EFGH是正方形；
（2）根据题意，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延长线于N，设运动t秒后，四边形EFGH的面积S取最小值，则AE=t，AH=4-t，又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，可得HM与AH的关系，四边形EFGH的面积与t的关系，其关系式为二次函数，由二次函数的性质，易得答案．
点评：本题考查正方形、菱形、三角形的判定与性质．注意熟练掌握性质，结合题意，全面分析．