Question

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式。

Answer 1

解：（1）根据题意：AP=tcm，BQ=tcm △ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°， ∴BP=（3-t ）cm △PBQ中，BP=3-t，BQ=t， 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90° 当∠BQP=90°时，BQ=BP 即t=（3-t ）， t=1 （秒） 当∠BPQ=90°时，BP=BQ 3-t=t， t=2 （秒） 答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形。
（2）过P作PM⊥BC于M Rt△BPM中，sin∠B=， ∴PM=PB·sin∠B=（3-t ） ∴S△PBQ=BQ·PM=· t ·（3-t ） ∴y=S△ABC-S△PBQ=×32×-· t ·（3-t ） = ∴y与t的关系式为：y= 假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的， 则S四边形APQC=S△ABC ∴= ∴t2-3t+3=0 ∵（-3）2-4×1×3＜0， ∴方程无解 ∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的。
（3）在Rt△PQM中，MQ= MQ2+PM2=PQ2 ∴ = = =3t2-9t+9 ∴ ∵y= ∴y= = = ∴y与x的关系式为：y=。