Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形，若存地，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A，B两点 ∴-x2+2x+3=0， 解得x1=3，x2=-1 ∴点A（-1，0），B（3，0） 又∵抛物线y=-x2+2x+3交y轴于点C， ∴点C（0，3）。
（2）∵抛物线y=-x2+2x+3的定点为M ∴ ∴M（1，4） ∴过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1， ∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3 ∴S△BCM=S△BOC=3。
（3）存在点P i）以AC为腰： ①当以点A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P1，P2（P1在P2的右侧） ∴P1O=+1，P2O=-1 ∴ ②以点C为圆心，AC为半径画弧交x轴于点P3 ∴点P3与点A关于y轴对称，则点P3坐标为（1，0）， ii）以AC为底边：作AC的垂直平分线交x轴于点P4，垂足为F， 则AF= ∵∠AFP4=∠AOC=90°，∠CAO=∠P4AF ∴△AOC∽△AFP4 ∴ ∴ ∴AP4=5 ∴OP4=5-1=4 ∴P4（4，0） ∴点P的坐标为：P1（-1，0），P2（--1，0）， P3（1，0），P4（4，0）。