Question

已知抛物线y＝x²－2x＋m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．

(1)求m的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线，且与x轴的左半轴

交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵抛物线y＝x2－2x＋m－1与x轴只有一个交点，∴△＝(－2)2－4×1×(m－1)＝0，解得m＝2． 　　(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1，易得顶点B(1，0)，当x＝0时，y＝1，得A(0，1)． 　　由1＝x2－2x＋1解得x＝0(舍)，或x＝2，所以C(2，1)． 　　过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD＝1，BD＝xD－xB＝1． 　　∴在Rt△CDB中，∠CBD＝45° ，BC＝． 　　同理，在Rt△AOB中，AO＝OB＝1，于是∠ABO＝45° ，AB＝． 　　∴∠ABC＝180° －∠CBD－∠ABO＝90° ，AB＝BC，因此△ABC是等腰直角三角形． 　　(3)由题知，抛物线C′的解析式为y＝x2－2x－3，当x＝0时，y＝－3；当y＝0时，x＝－1，或x＝3， 　　∴E(－1，0)，F(0，－3)，即OE＝1，OF＝3． 　　①若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1(x1，y1)，作P1M⊥x轴于M． 　　∵∠P1EM＋∠OEF＝∠EFO＋∠OEF＝90° ， 　　∴∠P1EM＝∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，于是，即EM＝3P1M． 　　∵EM＝x1＋1，P1M＝y1，∴x1＋1＝3y1．(*) 　　由于P1(x1，y1)在抛物线C′上，有3(x12－2x1－3)＝x1＋1， 　　整理得3x12－7x1－10＝0，解得x1＝－1(舍)，或． 　　把代人(*)中可解得．∴P1(，)． 　　②若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2(x2，y2)，作P2N⊥与y轴于N． 　　同①，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，得，即P2N＝3FN． 　　∵P2N＝x2，FN＝3＋y2，∴x2＝3(3＋y2)．(**) 　　由于P2(x2，y2)在抛物线C′上，有x2＝3(3＋x22－2x2－3)， 　　整理得3x22－7x2＝0，解得x2＝0(舍)，或． 　　把代人(**)中可解得．∴P2(，)． 　　综上所述，满足条件的P点的坐标为(，)或(，)．