Question

已知：A（8，0），B（0，6），M是AB的中点，点P和点Q分别是x轴和y轴上的两动点，当△PQM为等腰直角三角形时，则P点的坐标是________．

Answer 1

（，0），（4，0），（-4+，0），（-4-，0）．
分析：先根据中点坐标公式求出M点的坐标，再设P（x，0），Q（0，y），由于哪个角是直角不能确定，故应分∠QMP=90°，∠QPM=90°，∠PQM=90°三种情况列出关于x、y的方程组，求出x的值即可．
解答：解：∵A（8，0），B（0，6），M是AB的中点，
∴M的坐标是（4，3），
设P（x，0），Q（0，y），
当∠QMP=90°时（如图1所示），QM=PM，
∵△OPQ、△QPM均为直角三角形，
∴QM²+MP²=OQ²+OP²，即4²+（3-y）²+（x-4）²+3²=x²+y²①，
∵QM=PM，
∴4²+（3-y）²=（x-4）²+3²②，
①②联立得，解得x=或x=0（舍去），
∴P（，0）；
当∠QPM=90°时（如图2所示），QP=PM，
∵△OPQ、△QPM均为直角三角形，
∴MP²=QP²=OQ²+OP²，即x²+y²=（x-4）²+3²①，
MP²+QP²=QM²，即x²+y²+（x-4）²+3²=4²+（3-y）²，②，
①②联立得，，解得x=3或x=0（舍去），
∴P（3，0）；
当∠PQM=90°时，如图3所示，QP=QM，
∵△PQM是等腰直角三角形，
∴QM²+QP²=PM²，QM=QP，
即4²+（3-y）²+x²+y²=（4-x）²+3²①，4²+（3-y）²=x²+y²②，
①②联立得，，整理得，x²+8x-25=0，解得x=-4+或x=-4-，
∴P（-4+，0）或（-4-，0）
综上所述，P（，0），（3，0），（-4+，0），（-4-，0）．
点评：本题考查的是一次函数综合题，熟知等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．