Question

如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是

⊙O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD．
（1）求DC的长；
（2）求cosB的值．

Answer 1

（1）连接OC、BC、AD，
∵AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD，
又∵∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，
∴∠CBD=∠CBA，
∴∠DBA=2∠CBA，
又∵∠COA=2∠CBA，
∴∠DBA=∠COA，
∴OC∥BD，
设CD=x，
∴CP：CD=OP：OB，
∴CP：x=8：4，
∴CP=2x，
∴CP?PD=AP?BP，
∴2x?（2x+x）=4×（4+4+4），
∴x=2

2

，
即CD=2

2

；

（2）∵OC∥BD，
∴OC：BD=OP：OB，
∴4：BD=（4+4）：4，
∴BD=6，
∴在Rt△ABD中，cosB=

BD

AB

=

6

8

=

3

4

．