Question

如图，在等腰△ABC中，AC=BC=10，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC于F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若sin∠E=，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠BAC=∠BDO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴直线EF是⊙O的切线；

（2）解：连接BG，
∵BC是⊙O直径，
∴∠BGC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°=∠BGC，
∴BG∥EF，
∴∠E=∠GBC，
∵sin∠E=，
∴sin∠GBC==，
∵BC=10，
∴CG=4，
∴AG=10-4=6，由勾股定理得：BG==2，
在Rt△BGA中，由勾股定理得：AB===2，即AB=2．
分析：（1）连接OD，根据等腰三角形性质求出∠A=∠ABC=∠ODB，推出OD∥AC，推出OD⊥DF，根据切线判定推出即可；
（2）连接BG，推出BG∥EF，推出∠E=∠GBC，根据已知推出sin∠GBC==，求出CG，求出AG，根据勾股定理求出BG，在△BGA中，根据勾股定理求出AB即可．
点评：本题考查了勾股定理，切线的判定，平行线的性质和判定，解直角三角形等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．