Question

已知：⊙O与⊙O₁外切于C，P是⊙O上任一点，PT与⊙O₁相切于点T．求证：PC：PT是定值．

Answer 1

证明：如图所示，⊙O₁，⊙O，两圆半径分别为R、r．
延长PC与圆交于E点，连接O₁E，PO，OO₁，
∵OP=OC，O₁C=O₁E，
∴∠OCP=∠OPC，∠O₁CE=∠O₁EC．
又∵∠OCP与∠O₁CE是对顶角，
∴∠OCP=∠O₁CE，
∴∠OCP=∠OPC=∠O₁CE=∠O₁EC，
∴△OCP∽△O₁CE，
∴==，即CE=PC．
∵PT与⊙O₁相切于点T，
∴PT²=PC•PE=PC•（PC+CE）=PC•（PC+PC），
即PT²=PC²（1+），
∴PC：PT=．为定值．
分析：要证PC：PT是定值，如图证明△OCP与△O₁CE相似，则CE可以用PC来表示得CE=PC，再由PT与⊙O₁相切于点T，可得PT²=PC•PE，代换后可得PT²=PC²（1+），进而得PC：PT为定值．
点评：本题考查了相切圆的性质与相似三角形的判定和性质，同学们应熟练掌握．