Question

已知：△ABC是等边三角形，分别过点A，B作AF∥BC，BE∥AC，AF，BE分别与过点C的直线交于点F，E，连接线段BF，AE，BF交AE于点D
（1）求证：△AFC∽△BCE；
（2）△ABC的边长是3，AF=2，求BE的长；
（3）请你找出与△ABF相似的三角形，并证明．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠BCE，∠CAF=∠ACB，
∵BE∥AC，
∴∠EBC=∠ACB，
∴∠CAF=∠EBC．
在△AFC与△BCE中，∵∠AFC=∠BCE，∠CAF=∠EBC，
∴△AFC∽△BCE；

（2）解：∵△AFC∽△BCE，
∴AF：BC=AC：BE，
∵等边△ABC的边长是3，
∴BC=AC=3，
又AF=2，
∴2：3=3：BE，
∴BE=；

（3）解：△BEA∽△ABF，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵∠ABE=∠ABC+∠EBC=∠ABC+∠ACB=120°，
∠FAB=∠CAF+∠BAC=∠ACB+∠BAC=120°，
∴∠ABE=∠FAB．
∵△BCE∽△AFC，
∴=，
∵AC=AB=BC，
∴=．
在△BEA与△ABF中，∵=，∠ABE=∠FAB，
∴△BEA∽△ABF．
分析：（1）先由平行线的性质得出∠AFC=∠BCE，∠CAF=∠EBC，再根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△AFC∽△BCE；
（2）由△AFC∽△BCE，根据相似三角形对应边成比例及等边三角形的性质即可求出BE的长；
（3）先根据等边三角形及平行线的性质得出∠ABE=∠FAB，再根据△BCE∽△AFC，得出=，则由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似即可证明△BEA∽△ABF．
点评：本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度中等．其中（3）通过观察△ABF的形状，得出∠ABE=∠FAB=120°，再由△BCE∽△AFC，进而得出=是解题的关键．