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    原题：梯形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，∠DCB=60°，BC=4，AD=2，△PMN，PM=MN=NP=a，BC与MN在一直线上，NC=6，将梯形ABCD向左翻折180°．
    （1）向左翻折二次，a≥2时，求两图形重叠部分的面积；
    （2）向左翻折三次，重叠部分的面积等于梯形ABCD的面积，a的值至少应为多少？
    （3）向左翻折三次，重叠部分的面积恰好等于梯形ABCD的面积的一半，求a的值．

    解：（1）∵CB=4，CN=6，∴GN=2．
    又∵∠PNM=60°且∠EGN=60°，
    ∴△EGN为正三角形．
    ∴△EGN的高为h=．
    ∴S△EGN=×2×=；

    （2）在直角梯形ABCD中，
    ∵CD=4，∠DCB=60°，
    ∴AB=2．
    在Rt△KHM中，tan30°=，
    MH=2×=2，
    ∴MN=2+4+2=8；

    （3）S梯形ABCD=（2+4）•2=6．
    当MP经过H点时，交D′G于F，
    则 S△HGF=×4×2=4＞S梯形ABCD．
    ∴HG＜4，
    设HG=x，则有 h′=x．
    ∴S公共部分=x•x=x2．
    ∴x2=3，
    解得：x=2或-2（舍去）．
    ∵GN=2，
    ∴等边三角形PNM的边长a为（2+2）cm．
    分析：（1）因为∠DCB=60°，△PMN也是等边三角形，这样容易知道△EGN也是等边三角形，易求GN=2，所以求两图形重叠部分的面积就可以求出；
    （2）如图，等边三角形的边长MN=GN+HG+MH，其中只要求MH，利用已知解Rt△KHM就可以了；
    （3）若现在重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，如图首先判断HG的大小，梯形ABCD的面积可以直接求出；然后设HG为x，根据已知条件可以得到关于x的方程，解方程就可以得到题目的结果．
    点评：本题考查了翻折变换及直角梯形的知识，难度较大，图形变换比较复杂，考查了等边三角形的性质，面积计算，也考查了解直角三角形的知识，综合性比较强，注意后面两问表述的重叠面积的大小．
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    （2012•河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
    原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若
    AF
    EF
    =3，求
    CD
    CG
    的值．

    （1）尝试探究
    在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是
    AB=3EH
    AB=3EH
    ，CG和EH的数量关系是
    CG=2EH
    CG=2EH
    ，
    CD
    CG
    的值是
    3
    2
    3
    2
    ．
    （2）类比延伸
    如图2，在原题的条件下，若
    AF
    EF
    =m（m＞0），则
    CD
    CG
    的值是
    m
    2
    m
    2
    （用含有m的代数式表示），试写出解答过程．
    （3）拓展迁移
    如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若
    AB
    CD
    =a，
    BC
    BE
    =b，（a＞0，b＞0）
    ，则
    AF
    EF
    的值是
    ab
    ab
    （用含a、b的代数式表示）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    习题改编．
    原题：梯形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，∠DCB=60°，BC=4，AD=2，△PMN，PM=MN=NP=a，BC与MN在一直线上，NC=6，将梯形ABCD向左翻折180°．
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    （2）向左翻折三次，重叠部分的面积等于梯形ABCD的面积，a的值至少应为多少？
    （3）向左翻折三次，重叠部分的面积恰好等于梯形ABCD的面积的一半，求a的值．
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    科目：初中数学 来源：2011年黑龙江省哈尔滨市初中数学教师基本功大赛试卷（解析版） 题型：解答题

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