Question

已知抛物线y=x²+kx-k²（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设抛物线与x轴交于M（x₁，0），N（x₂，0）两点，且，求k的值．

Answer 1

（1）令y=0，则x²+kx-k²=0，
所以△=k²-4×1×（-）=k²+3．
因为k²是非负数，所以无论k取何值，k²+3总是大于零，即k²+3＞0，
所以，关于x的一元二次方程x²+kx-k²=0总有两个不同的实数根，即抛物线y=x²+kx-k²（k为常数，且k＞0）．与x轴总有两个不同的交点；

（2）根据题意，知
x₁+x₂=-k，x₁•x₂=-k²，
则===，即=，
解得，k=2，即k的值是2．
分析：（1）利用一元二次方程x²+kx-k²=0的根的判别式的符号来判定此抛物线与x轴交点的个数；
（2）根据根与系数的关系列出关于k的方程，通过解方程即可求得k的值．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．
△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．