Question

如图1，直线y=-

2

3

x+2与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（-1，0）．

（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；
（3）过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式令y=0求解得到点B的坐标，令x=0得到点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①根据直线和抛物线解析式表示出EP的长度，再根据△BCE的面积等于△CEP的面积和△BEP的面积之和列式整理即可得解，再根据点P在线段BC上确定出m的取值范围；
②把二次函数整理成顶点式形式，然后根据最值问题求出S的最大值，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OE=BE，判断出△OBE是等腰三角形；
（3）根据抛物线解析式求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，再根据点P的横坐标求出点P的纵坐标，再求出点Q的横坐标，然后求出PQ的长，再根据等腰直角三角形的性质分PQ是斜边和底边两种情况讨论求解即可．

解答：解：（1）在y=-

2

3

x+2中，令y=0，得-

2

3

x+2=0，解得x=3，
令x=0，得y=2，
∴B（3，0），C（0，2），
设抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），
∵抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，2），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=2

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3 c=2

，
∴抛物线解析式为，y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；

（2）①∵点P的横坐标为m，过点P作直线a∥y轴，
∴EP=-

2

3

m²+

4

3

m+2-（-

2

3

m+2）=-

2

3

m²+2m，
∴△BCE的面积为S=

1

2

EP•|x_B-x_C|=

1

2

×（-

2

3

m²+2m）×|3-0|=-m²+3m，
∵P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），
∴0＜m＜3，
∴S与m之间的函数关系式为：S=-m²+3m（0＜m＜3）；
②∵S=-m²+3m=-（m-

3

2

）²+

9

4

，
∴当m=

3

2

时，S_最大值=

9

4

，
当m=

3

2

时，P是BC的中点，OE=BE，EF=

9

4

，
∴△OBE是等腰三角形；

（3）令y=0，则-

2

3

x²+

4

3

x+2=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A（-1，0），
易得直线AC的解析式为y=2x+2，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为-

2

3

m+2，
∴点Q的纵坐标为-

2

3

m+2，
代入直线AC得，2x+2=-

2

3

m+2，
解得x=-

1

3

m，
∴PQ=m-（-

1

3

m）=

4

3

m，
①当PQ是等腰直角三角形△PQR的直角边时，

4

3

m=-

2

3

m+2，
解得m=1，
∴QR是直角边时，点R₁（-

1

3

，0），
PQ是直角边时，点R₂（1，0），
②PQ是等腰直角三角形△PQR的斜边时，

1

2

×

4

3

m=-

2

3

m+2，
解得m=

3

2

，
∴PQ=

4

3

m=

4

3

×

3

2

=2，
OR=m-

1

2

PQ=

3

2

-

1

2

×2=

1

2

，
∴点R₃（

1

2

，0），
综上所述，x轴上存在点R（-

1

3

，0）或（1，0）或（

1

2

，0），使得△PQR为等腰直角三角形．

点评：本题是二次函数综合题，主要利用了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质，（2）根据两函数图象解析式表示EP是解题的关键，（3）难点在于要分情况讨论并根据等腰直角三角形的性质列出方程．