Question

若x₁、x₂是关于x方程x²-4x+m=0的两个实数根，且满足，则m=________．

Answer 1

-2
分析：根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠）解的定义和根与系数的关系得到x₁²-4x₁+m=0，x₂²-4x₂+m=0，x₁+x₂=4，x₁•x₂=m，变形为x₁²-3x₁+=x₁-m=0，x₂²-3x₂=x₂-m，根据题意有（x₁-m）（x₂-m）=10，展开得到x₁•x₂-m（x₁+x₂）+m²=10，于是m-m×4+m²=10，解此方程得到m₁=5，m₂=-2，然后把它们分别代入原方程，计算根的判别式来确定m的值．
解答：∵x₁、x₂是关于x方程x²-4x+m=0的两个实数根，
∴x₁²-4x₁+m=0，x₂²-4x₂+m=0，x₁+x₂=4，x₁•x₂=m
∴x₁²-3x₁+=x₁-m=0，x₂²-3x₂=x₂-m，
∴（x₁-m）（x₂-m）=10，
∴x₁•x₂-m（x₁+x₂）+m²=10，
∵m-m×4+m²=10，
整理得m²-3m-10=0，
解得m₁=5，m₂=-2，
当m=5，方程化为x²-4x+5=0，由于△=16-4×5＜0，此方程无实数解；
当m=-2，方程化为x²-4x-2=0，由于△=16+4×2＞0，此方程有两个实数解；
所以m=-2．
故答案为-2．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠）的根与系数的关系：若方程两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式及其解的定义．