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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知直线L1的解析式为y=1.5x+6，直线L1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线L2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在精英家教网直线L2从点C向点B移动（一点到达终点，另一点即停止运动）．点P、Q同时出发，移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒．
    （1）求直线L2的解析式；
    （2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
    （3）是否存在某一时刻，当过P、Q两点的直线平分△OCB的周长时，△PCQ的面积达到最大？若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
    （4）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
    分析：（1）因为直线L1的解析式为y=1.5x+6，直线L1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，所以分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标，又因直线L2经过B、C两点，B的坐标已经求出，点C的坐标为（8，0），所以利用待定系数法结合方程组即可求出L2的解析式；
    （2）要求△PCQ的面积S，需求出PC上的高，因此需过点Q作QE⊥AC于点E，因为OB=6，OC=8，利用勾股定理可得BC=10，PC=12-t•1，因为QE⊥AC，BO⊥AC，所以可得△QCE∽△BOC，利用相似三角形对应边的比等于相似比可得
    QE
    BO
    =
    CQ
    CB
    ，所以QE=
    6
    10
    t，S=
    1
    2
    PC•QE=
    1
    2
    （12-t）•
    3
    5
    t，整理即可；
    （3）由（2）知S=-
    3
    10
    t2+
    18
    5
    t=-
    3
    10
    （t-6）2+10.8，利用二次函数最值的求法可知当t=6时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，L△CBO=6+8+10=24，利用CP+CQ=12，从而可判断此时直线PQ将三角形的周长平分，接下来求Q的坐标：
    由（2）中△QCE∽△BOC，可得
    QE
    BO
    =
    CQ
    BC
    =
    CE
    CO
    ，即
    QE
    6
    =
    6
    10
    =
    CE
    8
    ．所以QE=
    18
    5
    ，CE=
    24
    5
    ，OE=OC-CE=8-
    24
    5
    =
    16
    5
    ，即点Q的坐标为（
    16
    5
    ，
    18
    5
    ）；
    （4）因为△PCQ为等腰三角形，所以需分情况讨论：
    ①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形，因为AP=CQ=t，CP=12-t，所以t=12-t，解之即可；
    ②当PQ=CQ时，因为QE⊥OC，所以CE=OE=
    1
    2
    （12-t），利用△CQE∽△CBO，可得
    CQ
    CB
    =
    CE
    CO
    ，代入相关数据即可求出t的值；
    ③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，可过点P作PH⊥BC于点H，利用等腰三角形的三线合一可得CH=HQ=
    1
    2
    t，因为∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，可得△CHP∽△COB，所以
    CH
    OC
    =
    CP
    CB
    ，代入相关数据即可求出t的值．
    解答：精英家教网解：（1）y=-
    3
    4
    x+6．

    （2）过点Q作QE⊥AC于点E，
    OB=6，OC=8，∴BC=10，PC=12-t•1，
    QE⊥AC，BO⊥AC，∴△QCE∽△BOC，
    ∴
    QE
    BO
    =
    CQ
    CB
    ，
    QE
    6
    =
    t
    10
    ，∴QE=
    6
    10
    t=
    3
    5
    t    ，
    ∴S=
    1
    2
    PC•QE=
    1
    2
    （12-t）•
    3
    5
    t=-
    3
    10
    t2+
    18
    5
    t．

    （3）存在，
    S=-
    3
    10
    t2+
    18
    5
    t=-
    3
    10
    （t-6）2+10.8，
    ∴当t=2时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，
    ∴L△CBO=6+8+10=24，∴CP+CQ=12，
    △QCE∽△BOC，∴
    QE
    BO
    =
    CQ
    BC
    =
    CE
    CO
    ，即
    QE
    6
    =
    6
    10
    =
    CE
    8
    ．
    ∴QE=
    18
    5
    ，CE=
    24
    5
    ，
    ∴OE=OC-CE=8-
    24
    5
    =
    16
    5
    ，
    ∴点Q的坐标为（
    16
    5
    ，
    18
    5
    ）．

    （4）①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形；
    ∵AP=CQ=t，CP=12-t，
    ∴t=12-t，即t=6，当PQ=CQ时，△PQC为等腰三角形；
    ②PQ=CQ，QE⊥OC，
    ∴CE=PE=
    1
    2
    （12-t）
    ∵△CQE∽△CBO，
    ∴
    CQ
    CB
    =
    CE
    CO
    ，即
    t
    10
    =
    1
    2
    (12-t)
    8
    ，
    ∴t=
    60
    13
    ；
    ③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，过点P作PH⊥BC于点H，
    则CH=HQ=
    1
    2
    t，∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，∴△CHP∽△COB，
    ∴
    CH
    OC
    =
    CP
    CB
    ，即
    1
    2
    t
    8
    =
    12-t
    10
    ，∴t=
    96
    13
    ．
    综上所述t=6，t=
    60
    13
    ，t=
    96
    13
    时，△PQC为等腰三角形．
    点评：本题是一道综合性较强的题目，需仔细分析题意，利用一次函数和相似三角形的知识来解决问题，另外要注意解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
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    （1）求直线l2的解析式；
    （2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
    （3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

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    （1）求直线l2的解析式；
    （2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式．

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    （1）求直线l2的解析式；
    （2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
    （3）对于（2）中的△PCQ的面积S是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
    （4）试探究：当t 为何值时，△PCQ为等腰三角形．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），点D是AC的中点，点Q从点C沿△BOC的三边按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度运动一周，设移动时间为t秒
    （1）求直线l2的解析式；
    （2）设△DCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
    （3）试探究：点P在x轴上以每秒1个单位长度的速度从点A向点C运动，若点P与点Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，t为何值时，以点P、Q、C为顶点的三角形与△BOC相似．

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