如图.已知抛物线C1:y=-$\frac{1}{2}$x2.平移抛物线y=x2.使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上.设平移后的抛物线为C2.且C2与y轴交于点C(0.2)．(1)求抛物线C2的解析式,(2)抛物线C2与x轴交于A.B两点.求点A.B的坐标及过点A.B.C的圆的圆心E的坐标,(3)在过点且平行于x轴的直线上是否存在点F.使四边形CEBF为菱形?若存在.求出点F的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

如图，已知抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²，平移抛物线y=x²，使其顶点D落在抛物线C₁位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C₂，且C₂与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）抛物线C₂与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；
（3）在过点（0，$\frac{1}{2}$）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）设D（a，-$\frac{1}{2}$a²），进而求出a的值得出函数解析式即可；
（2）利用y=0求出A，B点坐标，再利用|CE|=|AE|，求出m的值进而得出答案；
（3）利用菱形的性质结合|BF|=|CF|=|CE|，再求出|FC|，进而得出答案．

解答解：（1）由题意设D（a，-$\frac{1}{2}$a²），
假设抛物线C₂的解析式为：y=（x-a）²-$\frac{1}{2}$a²，
∵点C在抛物线C₂上，
∴将C（0，2）代入上式，
解得：a=±2，
∵点D在y轴右侧，
∴a=2，
∴抛物线C₂的解析式为：y=（x-2）²-2；

（2）由题意，在y=（x-2）²-2中，令y=0，则x=2±$\sqrt{2}$，
∵点B在点A的右侧，
∴A（2-$\sqrt{2}$，0），B（2+$\sqrt{2}$，0），
又∵过点A，B，C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，
∴设E（2，m），且|CE|=|AE|，
则2²+（2-m）²=m²+（2-2+$\sqrt{2}$）²，
解得：m=$\frac{3}{2}$，
∴圆心E的坐标为：（2，$\frac{3}{2}$）；

（3）假设存在点F（t，$\frac{1}{2}$），使得四边形CEBF为菱形，
则|BF|=|CF|=|CE|，
∴（$\frac{1}{2}$）²+（2+$\sqrt{2}$-t）²=（2-$\frac{1}{2}$）²+t²，
解得：t=$\sqrt{2}$，
当t=$\sqrt{2}$时，F（2，$\frac{1}{2}$），
此时|EC|=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
|FC|=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴|CF|=|BF|=|BE|=|EC|，
即存在点F（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），使得四边形CEBF为菱形．

点评此题主要考查了二次函数综合以及菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，利用数形结合得出F点位置是解题关键．

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