Question

如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b的关系式为________．

Answer 1

y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8
分析：如图所示，分三种情况考虑：（i）当直线MN与x轴、y轴交于N（2，0）、M（0，2），此时MN=AB=2，且直线MN与直线AB斜率相同，即两直线平行，可得出此时AMNB为平行四边形，满足题意，求出此时直线MN的方程；（ii）当直线与x轴，y轴分别交于N′、M′，此时M′N′=AB=2，且直线M′N′与直线AB斜率相同，即两直线平行，可得出AN′M′B为平行四边形，求出此时直线的方程；（iii）直线与x轴，y轴分别交于N′′、M′′，直线M′′N′′与直线AB交于C点，若C为M′′N′′与AB中点，四边形为平行四边形，求出此时直线方程即可．
解答：解：如图所示：分三种情况考虑：
（i）当直线MN与x轴、y轴交于N（2，0）、M（0，2），此时MN=AB=2，
且直线MN与直线AB斜率相同，都为-1，即两直线平行，
∴AMNB为平行四边形，
将M、N两点代入y=kx+b中得：，
解得：k=-1，b=2，此时直线MN的方程为y=-x+2；
（ii）当直线与x轴，y轴分别交于N′（-2，0）、M′（0，-2），此时M′N′=AB=2，
且直线M′N′与直线AB斜率相同，都为-1，即两直线平行，
∴AN′M′B为平行四边形，
将M′、N′两点坐标代入y=kx+b中得：，
解得：k=-1，b=-2，此时直线的方程为y=-x-2；
（iii）直线与x轴，y轴分别交于N′′、M′′，直线M′′N′′与直线AB交于C点，
若C为M′′N′′与AB中点，四边形为平行四边形，此时C坐标为（2，4），M′′（0，8），N′′（4，0），
将M′′、N′′两点坐标代入y=kx+b得：，
解得：k=-2，b=8，
此时直线方程为y=-2x+8，
综上，一次函数y=kx+b解析式为y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8．
故答案为：y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，两点间的距离公式，直线的斜率，平行四边形的判定，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，利用了数形结合与分类讨论的思想，做题时注意考虑问题要全面，不用漏解．