Question

如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°．
（1）求证：△BDE是等边三角形．
（2）若∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）证明：∵∠BCA和∠BDA都是弧AB所对的圆周角，
∴∠BCA=∠BDA=60°，
又∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∵AE、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）÷2=（180°-∠BCA）÷2=60°，
∴∠BED=60°，
∴△BDE是等边三角形．

（2）答：四边形BDCE是菱形，
证明：∵∠BDC=120°，
由（1）得∠EDC=60°，
∵∠BED=60°，
同（1）得，可推出∠BEC=120°，
∴△DCE是等边三角形，
∴CE=CD=DE，
由（1）得△BDE是等边三角形，
∴BE=BD=DE，
∴CE=BE=BD=CD，
∴四边形BDCE是菱形．
分析：（1）根据：∵∠BCA和∠BDA都是弧AB所对的圆周角，得到∠BCA=∠BDA=60°，根据三角形的内心，得出∠BAE+∠ABE=60°，推出∠BED=60°，即可推出答案；
（2）四边形BDCE是菱形，理由是：由（1）得∠EDC=60°，推出∠BEC=120°，得到等边△DCE，得出CE=CD=DE，进一步推出CE=BE=BD=CD，即可推出答案．
点评：本题主要考查对菱形的判定，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，圆周角定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行证明是证此题的关键．