Question

如图甲，正方形ABCD和正方形CEFG共一顶点C，且B，C，E在一条直线上．连接BG，DE．
（1）请你猜测BG，DE的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）若正方形CEFG绕C点顺时针方向旋转一个角度后，如图乙，BG和DE是否还有上述关系？是说明理由．

Answer 1

解：（1）BG=DE，BG⊥DE．理由如下：
∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，
∴CB=CD，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，
∴Rt△BCG≌Rt△DCE，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
而∠BGC=∠DGH，
∴∠DHG=∠GCB=90°，
即BG⊥DE．
∴BG=DE，BG⊥DE；

（2）BG和DE还有上述关系：BG=DE，BG⊥DE．
理由如下：∵CB=CD，CG=CE，∠BCG=∠DCE，
∴△DCE可看作是△BCG绕C顺时针旋转90°得到，
∴BG=DE，BG⊥DE．
分析：（1）由四边形ABCD，CEFG都是正方形，得到CB=CD，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，于是Rt△BCG≌Rt△DCE，得到BG=DE，∠CBG=∠CDE，根据三角形内角和定理可得到∠DHG=∠GCB=90°，即BG⊥DE．
（2）BG和DE还有上述关系．由CB=CD，CG=CE，∠BCG=∠DCE，则△DCE可看作是△BCG绕C顺时针旋转90°得到，根据旋转的性质即可得到BG=DE，BG⊥DE．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质．