Question

关于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）依题意得△=(k+2)2-4k•

k

4

＞0，
∴k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞-1且k≠0；
（2）不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0的两根分别为x₁，x₂，
由根与系数的关系有：

x1+x2=- k+2 k x1x2= 1 4

，
∵方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
∴-

k+2

k

=

1

2

，
∴k=-

4

3

，
由（1）知，k＞-1，且k≠0，
∴k=-

4

3

舍去，
因此不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．