Question

如图，△ABC中，AB=AC，M是AB上一点，N是AC延长线上的一点，且BM=CN，MN交BC于D，求证：MD=ND．

Answer 1

证明：过M作MG∥AN交BC于G．
∵MG∥AN，∴∠ACB=∠MGB，
∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，
∴∠MGB=∠B，
∴BM=MG，
∵BM=CN，
∴MG=CN．
∵MG∥AN，
∴∠GMD=∠N，∠MGD=∠NCD．
在△MDG与△NDC中，
∵∠GMD=∠N，MG=CN，∠MGD=∠NCD，
∴△MDG≌△NDC，
∴MD=ND．
分析：过点M作MG∥AN交BC于G，根据等腰三角形及平行线的性质可推出∠MGB=∠B，得到MG=BM=CN，再由ASA判定△MDG≌△NDC，从而根据全等三角形的性质证出MD=ND．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，难度中等，关键是作辅助线．