Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，且AC，BC分别与圆O相切于点M、N，若AO=15厘米，OB=20厘米，则圆O的面积为________平方厘米．

Answer 1

144π
分析：连接OM，ON，由AC与BC为圆O的切线，根据切线的性质得到OM垂直于AC，ON垂直于BC，由∠C为直角，根据三个角为直角的四边形为矩形可得出CMON为矩形，根据矩形的对边ON与AC平行，根据两直线平行同位角相等可得出一对同位角相等，再由一对直角相等，根据两对对应边相等的两三角形相似可得出三角形AOM与三角形BON相似，根据相似得比例，设OM=ON=x厘米，在直角三角形BON中，由ON及OB，利用勾股定理表示出BN，将OM，BN，OA及OB的长代入比例式中，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，利用圆的面积公式即可求出圆O的面积．
解答：连接OM，ON，如图所示：

∵AC，BC分别与圆O相切于点M、N，
∴OM⊥AC，ON⊥BC，
∴∠CMO=∠CNO=90°，又∠C=90°，
∴四边形CMON为矩形，
∴ON∥AC，
∴∠BON=∠A，又∠AMO=∠ONB=90°，
∴△AMO∽△ONB，
∴=，
设OM=ON=x厘米，AO=15里面，BO=20厘米，
在Rt△BON中，根据勾股定理得：BN==，
∴=，即400x²=225（400-x²），解得：x=12，
∴圆O的半径为12厘米，
则圆O的面积为π×12²=144π（平方厘米）．
故答案为：144π
点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．