Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3㎝，BC=7㎝，∠B=60°，P为下底BC上的一点（不与B、C重合），连接AP，过P点作∠APE=∠B，边PE交DC于E。
（1）求等腰梯形ABCD的腰AB的长；
（2）在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶EC=5∶3 ？如果存在，请求出BP的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）作AF⊥BC于F，由已知易求得BF=，
在Rt△ABF中 ，∠B=60°，BF=2cm，
∴AB=4（cm）；
（2）存在这样的点P
理由：由DE：EC=5：3 DE+EC=4，得EC=，
∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∠B=∠APE，
∴∠EPC=∠BAP，
又∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
设BP=x，则PC=7-x，
∴，
解得x₁=1，x₂=6，
经检验，都符合题意，
∴BP=1cm或6cm。