如图（1），在平面直角坐标系中，Rt△ABC的AC边与x轴重合，且点A在原点，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=2，又一直径为2的⊙D与x轴切于点E（1，0）；
（1）若Rt△ABC沿x轴正方向移动，当斜边AB与⊙D相切时，试写出此时点A的坐标；
（2）当Rt△ABC的边BC移动到与y轴重合时，则把Rt△ACB绕原点O按逆时针方向旋转，使斜边AB恰好经过点F（0，2），得Rt△A′B′O，AB分别与A′O、A′B′相交于M、N，如图（2）所示．
①求旋转角∠AOA′的度数；
②求四边形FOMN的面积．（结果保留根号）

解：（1）

当在左边相切时，∠OA′G=∠COB=60°，
∴∠DA'G=∠DA'E=60°，
∴A'E= $\text{[math]}$ ，此时点A坐标为（1- $\text{[math]}$ ，0），
同理，当在右边相切时，A''E= $\text{[math]}$ ，此时点A''的坐标为（1+ $\text{[math]}$ ，0）．
综上可得A（1- $\text{[math]}$ ，0）或A（1+ $\text{[math]}$ ，0）；

（2）①∵Rt△ACB旋转得Rt△A′B′O，
∴Rt△ACB≌Rt△A′B′O．
∴∠A=∠A’=60°AO=A′O．
∵OF=OA=2，
∴△A′OF是等边三角形．
∴∠A′OF=60°．
∴∠AOA′=30°．

②在△AMO中，∠OAM=60°，∠AOA′=30°，
∴∠AMO=90°，AM= $\text{[math]}$ OA= $\text{[math]}$ ×2=1，ON= $\text{[math]}$ ，MN= $\text{[math]}$ ；
∴A′N=A′F-NF=A′O-NO=2- $\text{[math]}$ ，MN= $\text{[math]}$ ，A′N= $\text{[math]}$ （2- $\text{[math]}$ ）；
∴S_△A'MN= $\text{[math]}$ A′N•MN= $\text{[math]}$ （2- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -6．
过点F作FG⊥OA′于G，则FG= $\text{[math]}$ ，
∴S_△FOA′= $\text{[math]}$ OA′•FG= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴S_FOMN=S_△FOA-S_△A'MN= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -6）=6- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
∴四边形FOMN的面积是（6- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）平方单位．
分析：（1）分情况考虑：第一次和圆相切时；第二次和圆相切时．应连接圆心和切点，构造三角形求解；
（2）①容易判断出△A′OF是等边三角形，那么∠AOA'=30°；
②S_FOMN=S_△FOA-S_△A'MN．
点评：注意分不同的情况考虑问题；判断旋转角，注意特殊角的应用是解题的关键．

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