Question

已知：abc=1，求

a

ab+a+1

+

b

bc+b+1

+

c

ac+c+1

的值．

Answer 1

分析：解决本题的关键是根据abc=1的条件，将所求的代数式通分，然后进行分式的加减运算．

b

bc+b+1

=

ab

abc+ab+a

，将abc=1代入后，可得：

a

bc+b+1

=

ab

ab+a+1

；
同理，可知：

c

ac+c+1

=

abc

a2bc+abc+ab

=

1

ab+a+1

；由此，三个分式的分母都化成了ab+a+1，然后根据分式的加减法运算规则进行计算即可．

解答：解：∵abc=1，
∴原式=

a

ab+a+1

+

ab

abc+ba+a

+

abc

a2bc+abc+ab

=

a

ab+a+1

+

ab

ab+a+1

+

1

ab+a+1

=

ab+a+1

ab+a+1

=1．

点评：分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．