Question

9．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于第一象限的点C（1，m）和第三象限的点H，H点的纵坐标为-2
（1）求m和k的值；
（2）求不等式：$2x＞\frac{k}{x}-2$的解集；
（3）过x轴上的点D（3，0）作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线$y=\frac{k}{x}$交于点P、Q，求△APQ的面积．

Answer 1

分析 （1）先把C（1，m）代入y=2x+2可求出m，确定C点坐标，然后把C点坐标代入直线$y=\frac{k}{x}$可求得k的值；
（2）根据函数的图象即可求得；
（3）先利用直线y=2x+2，令x=0和3，分别确定A点和P点坐标；再通过y=$\frac{4}{x}$，令x=3，确定Q点坐标，然后利用三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）把C（1，m）代入y=2x+2中得m=2×1+2，解得m=4，
∴C点坐标为（1，4），
把C（1，4）代入$y=\frac{k}{x}$得4=$\frac{k}{1}$，解得k=4；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{4}{4}}\end{array}\right.$得x₁=-2，x₂=1，
根据图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，2x+2＞$\frac{k}{x}$，即2x＞$\frac{k}{x}$-2；

（3）∵对于y=2x+2，令x=3，则y=2×3+2=8，
得到P点坐标为（3，8）；
令y=0，则2x+2=0，则x=-1，
得到A点坐标为（-1，0），
对于y=$\frac{4}{x}$，令x=3，则y=$\frac{4}{3}$，
得到Q点坐标为（3，$\frac{4}{3}$），
∴△APQ的面积=$\frac{1}{2}$AD•PQ=$\frac{1}{2}$×（3+1）×（8-$\frac{4}{3}$）=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了与x轴垂直的直线上所有点的横坐标相同以及三角形面积公式．