Question

两块全等的含30°、60°的直角三角板如图所示放置．点B、C、D在同一条直线上，连接AE．点M是AE的中点，连接BM、MD．试猜想△BMD的形状，并请说明理由．

Answer 1

猜想：△BMD是等腰直角三角形．
证明：连接MC，
∵AC=CE，∠BCA=60°，∠DCE=30°，点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAM=45°，
∵点M是AE的中点，
∴AM=CM=ME，∠MCE=45°（等腰三角形三线合一），
∵∠BAC=30°，
∠DCE=30°，∠MCE=45°，
∴∠BAM=∠DCM=75°，
AB=CD，AM=CM，
∴△ABM≌△CDM（SAS）
∴BM=DM．∠AMB=∠CMD，
又∠AMB+∠BMC=90°，
∠CMD+∠BMC=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
分析：首先证明△ACE是等腰直角三角形，根据M是AE的中点，可得∠BAM=∠DCM=75°，AB=CD，AM=CM，证明△ABM≌△CDM，
进而求出即可．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定性质及等腰三角形性质．题目综合性较强，难度较大，关键是证明△ABM≌△CDM．