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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知矩形ABCD，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以相同的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），以PQ为直径作⊙O交AB于E，连接EQ，设点P运动时间为t秒，⊙O的面积为s．
    （1）求证：EQ⊥AB；
    （2）试求s关于t的函数关系式，并求出当t=2时s的值；
    （3）探究：是否存在一个时刻t，使⊙O与边AD相切？若存在，请求出此时s及t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）利用圆周角定理得出∠PEQ=90°，进而得出EQ⊥AB；
    （2）利用PE，EQ的长得出QP的平方的值，进而得出（
    PQ
    2
    ）2=t2-8t+25，求出S关于t的函数关系式即可；
    （3）利用已知得出当⊙O与边AD相切时，⊙O也与边BC相切，进而利用勾股定理以及一元二次方程的解法得出t的值即可．
    解答：（1）证明：∵以PQ为直径作⊙O交AB于E，
    ∴PQ为⊙O直径，∠PEQ为圆周角，
    ∴∠PEQ=90°，
    ∴EQ⊥AB；

    （2）解：设点P运动时间为t秒时，
    则AP=tcm，QC=tcm，
    ∵EQ⊥AB，
    ∴∠QEB=∠B=∠C=90°，
    ∴四边形QEBC是矩形，
    ∴BE=CQ=tcm，EQ=BC=6cm，
    ∴PE=8-2tcm，
    ∴PQ2=EQ2+PE2，
    ∴PQ2=（8-2t）2+62
    ∴（
    PQ
    2
    ）2=
    1
    4
    [（8-2t）2+62]=t2-8t+25，
    ∴S=π（
    PQ
    2
    ）2=π（t2-8t+25）=πt2-8πt+25π，
    当t=2时，s=πt2-8πt+25π=4π-8π×2+25π=13π（cm2）；

    （3）解：如图所示：
    ∵P，Q运动速度相同，
    ∴以PQ为直径作⊙O，当⊙O与边AD相切时，⊙O也与边BC相切，
    ∴此时⊙O直径为8cm，
    设⊙O与边AD相切与点M，过点P作PN⊥OM于点N，
    ∴MO=PO=4cm，AP=tcm，则MN=tcm，PN=AM=MD=3cm，
    ∴在Rt△PNO中，
    PN2+NO2=PO2，
    ∴32+（4-t）2=42，
    解得：t1=4+
    		7
    ，t2=4-
    		7
    ，
    此时s=π×42=16π（cm2），t的值分别为：4+
    		7
    秒，4-
    		7
    秒．
    点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和一元二次方程的解法等知识，利用已知得出当⊙O与边AD相切时，⊙O也与边BC相切是解题关键．
    练习册系列答案
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    精英家教网如图，已知矩形DEFG内接于Rt△ABC，D在AB上，E、F在BC上，G在AC上，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，S矩形DEFG=
    454
    ，则矩形的边长DG=
     
    ．

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    如图，已知矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点M沿AB方向从A向B以2cm/秒的速度移动，点N从D沿DA方向以1c精英家教网m/秒的速度移动，如果M、N两点同时出发，移动的时间为x秒（0≤x≤6）．
    （1）当x为何值时，△MAN为等腰直角三角形？
    （2）当x为何值时，有△MAN∽△ABC？
    （3）爱动脑筋的小红同学在完成了以上联系后，对该问题作了深入的研究，她认为：在M、N的移动过程中（N不与D、A重合，M不与A、B重合），以A、M、C、N为顶点的四边形面积是一个常数．她的这种想法对吗？请说出理由．

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    如图，已知正三角形ABC的边长AB是480毫米．一质点D从点B出发，沿BA方向，以每秒钟10毫米的速度向精英家教网点A运动．
    （1）建立合适的直角坐标系，用运动时间t（秒）表示点D的坐标；
    （2）过点D在三角形ABC的内部作一个矩形DEFG，其中EF在BC边上，G在AC边上．在图中找出点D，使矩形DEFG是正方形（要求所表达的方式能体现出找点D的过程）；
    （3）过点D、B、C作平行四边形，当t为何值时，由点C、B、D、F组成的平行四边形的面积等于三角形ADC的面积，并求此时点F的坐标．

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    （2012•宁德质检）如图，已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=8，BC=6，把斜边AC平均分成n段，以每段为对角线作边与AB、BC平行的小矩形，则这些小矩形的面积和是（　　）

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    如图，已知矩形ABCD中AB：BC=3：1，点A、B在x轴上，直线y=mx+n（0＜m＜n＜
    1
    2
    ），过点A、C交y轴于点E，S△AOE=
    9
    8
    S矩形ABCD，抛物线y=ax2+bx+c过点A、B，且顶点G在直线y=mx+n上，抛物线与y轴交于点F．
    （1）点A的坐标为
    （-3n，0）
    （-3n，0）
    ；B的坐标
    （-n，0）
    （-n，0）
    （用n表示）；
    （2）abc=
    -
    4
    9
    -
    4
    9
    ．

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