Question

如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，CD=3cm，CA=4cm，AD=5cm，点E在AD上运动，作直线EO交BC于点F．

（1）试说明：线段AE与FC相等；
（2）如图2，当点E运动到使AE=a时，四边形AECF是矩形，请你求出a的值．
（3）如图3，探索：当点E运动到AD中点时，四边形AECF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OA=OC，
在△EAO和△FCO中，，
从而可得△EAO≌△FCO，
故可得AE=CF；
（2）解：当点E运动到使AE=3.2时，四边形AECF是矩形．
理由如下：∵四边形AECF是矩形，
∴△ACE和△DCE都是直角三角形，
根据勾股定理得，EC²=AC²﹣AE²，EC²=DC²﹣DE²，
∴AC²﹣AE²=DC²﹣DE²，
即4²﹣a²=3²﹣（5﹣a）²，
解得：a=3.2；
（3）解：当点E运动到AE中点时，四边形AECF是菱形；
理由如下：∵E是AE中点，
∴DE=AE=FC=2.5．
∵AD∥BC，
∴四边形EFCD和四边形AECF都是平行四边形，
∴EF∥CD，
由已知CD=3，CA=4，CB=5，
∴AD²=AC²+CD²，
得出∠ACD=90°，
∴∠AOE=∠ACD=90°，
∴四边形AECF是菱形．