Question

如图，平面直角坐标系中，已知B（-3，0），C（3，0），点A（0，m）在y
轴正半轴上，P为线段OA上一动点（不与点A、O重合），BP交AC于点E、CP交AB于点F．
（1）求证：BE=CF；
（2）当m=4，BF=2AF时，求点F的坐标；
（3）以线段BE、CF、BC为边构成一个新△BCG（点E与F重合于点G），如果存在点P，恰使S_△BCG=S_△BCA，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵B（-3，0），C（3，0），
∴OB=OC，
∴y轴是BC的垂直平分线，
又∵点A在y轴正半轴上，点P在线段OA上，
∴AB=AC，PB=PC，
∴∠ABC=∠ACB，∠PBC=∠PCB，
在△BCF和△CBE中，，
∴△BCF≌△CBE（ASA），
∴BE=CF；

（2）解：如图，连接OF，
∵m=4，OB=3，
∴S_△AOB=×3×4=6，
∵BF=2AF，
∴S_△BOF=×6=4，S_△AOF=×6=2，
∴y_F•3=4，（-x_F）•4=2，
解得y_F=，x_F=-1，
∴点F的坐标为（-1，）；

（3）解：设∠BAC=α，
∵S_△BCG=S_△BCA，△BCG和△BCA都是等腰三角形，BC是公共边，
∴BE=BA，
∴∠BEA=∠BAE=α，
∴∠ACB=90°-∠OAC=90°-α，
在△ABE中，∠BEA+∠BAE=2α＜180°，
∴α＜90°，
在△BEC中，∠AEB＞∠ACB，
∴α＞90°-α，
解得α＞60°，
故60°＜α＜90°，
当α=60°时，△ABC是等边三角形，
∵OC=3，
∴m=AO=OC=3，
当α=90°时，△ABC是等腰直角三角形，
m=AO=OC=3，
∴m的取值范围是3＜m＜3．
分析：（1）根据点B、C的坐标判断出y轴是BC的垂直平分线，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=AC，PB=PC，根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，∠PBC=∠PCB，然后利用“角边角”证明△BCF和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CF；
（2）连接OF，先求出△AOB的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△BOF和△AOF的面积，再根据三角形的面积列式求出点F的横坐标与纵坐标的长度，从而得解；
（3）设∠BAC=α，根据三角形的面积求出BE=BA，根据等边对等角可得∠BEA=∠BAE=α，根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形两锐角互余求出∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出α＜90°，根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得∠AEB＞∠ACB，然后求出α＞60°，然后分α=60°和90°时求出m的值即可得解．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形性质，等腰三角形的判定与性质，（2）从三角形的面积考虑求出点F的横坐标与纵坐标是解题的关键，（3）根据三角形的面积求出BE=BA并求出∠BAC的范围是解题的关键，也是本题的难点．