Question

如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆与弦AC交于点D，E∥AC，并交OC于点E．则下列四个结论：

①点D为AC的中点；②S△OE＝S△AOC；③；④四边形DEO是菱形．其中正确的结论是________．(把所有正确的结论的序号都填上)

Answer 1

答案：①③④
解析：

分析：①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD＝∠ADO即可； 　　②不能证明CE＝OE； 　　③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE∽△ADO； 　　④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD＝45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE＝45°， 　　再求证△CED∽△COD，利用其对应变成比例即可得出结论． 　　解答：证明：①∵AB是半圆直径， 　　∴AO＝OD， 　　∴∠OAD＝∠ADO， 　　∵AD平分∠CAB交弧BC于点D， 　　∴∠CAD＝∠DAO＝∠CAB， 　　∴∠CAD＝∠ADO， 　　∴AC∥OD， 　　∴①正确． 　　②∵△CED与△AED不全等， 　　∴CE≠OE， 　　∴②错误． 　　③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO＝∠EDO，其它两角都不相等， 　　∴不能证明△ODE和△ADO全等， 　　∴③错误； 　　④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D， 　　∴∠CAD＝×45°＝22.5°， 　　∴∠COD＝45°， 　　∵AB是半圆直径， 　　∴OC＝OD， 　　∴∠OCD＝∠ODC＝67.5° 　　∵∠CAD＝∠ADO＝22.5°(已证)， 　　∴∠CDE＝∠ODC－∠ADO＝67.5°－25°＝45°， 　　∴△CED∽△COD， 　　∴＝， 　　∴CD2＝OD·CE＝AB·CE， 　　∴2CD2＝CE·AB． 　　∴④正确． 　　综上所述，只有①③④正确． 　　点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．

提示：

圆周角定理；平行线的性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系．