Question

2．如图，BD、CE是△ABC的两条高，AM是∠BAC的平分线，交BC于M，交DE于N，求证：
（1）△ABD∽△ACE； 
（2）$\frac{AM}{AN}$=$\frac{BC}{DE}$．

Answer 1

分析 （1）先根据有两组角对应相等的两个三角形相似，判定△ABD∽△ACE； 
（2）先相似三角形的性质，得出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，再根据∠DAE=∠BAC，判定△ADE∽△ABC，进而得到$\frac{BC}{DE}$=$\frac{AC}{AE}$，再根据∠CAM=∠EAN，判定△ACM∽△AEN，得到$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AM}{AN}$，最后等量代换即可得到$\frac{AM}{AN}$=$\frac{BC}{DE}$．

解答 证明：（1）∵BD、CE是△ABC的两条高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ABD∽△ACE；

（2）∵△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{BC}{DE}$=$\frac{AC}{AE}$，且∠ACB=∠AED，
∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠CAM=∠EAN，
∴△ACM∽△AEN，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AM}{AN}$，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{BC}{DE}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．