Question

某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元，可售出180个，定价每增加1元，销售量将减少10个．
（1）当销售完180个时，共获利多少元？
（2）设销售定价为x元，若商店准备获利2000元，则销售定价为多少元？商店应进货多少个？
（3）若商店要获得最大利润，则销售定价为多少元？商店应进货多少个？

Answer 1

解：（1）（52-40）×180=12×180=2160（元）．
答：当销售完180个时，共获利2160元．

（2）设销售定价为x元，
则每销售一个获利（x-40）元，共销售[180-10×（x-52）]个，
根据题意，得：（x-40）[180-10×（x-52）]=2000，
整理，得：x²-110x+3000=0，
解得：x₁=50，x₂=60，
经检验：x₁=50、x₂=60都是原方程的解，并且都符合题意．
当x=50时，180-10×（x-52）=200（个）；
当x=60时，180-10×（x-52）=100（个）．
答：定价为50元，商店应进货200个；或定价为60元，商店进货销售100个．

（3）设利润为w，
则w=（x-40）[180-10×（x-52）]=-10x²+1100x-28000=-10（x-55）²+2250，
∵-10＜0，
∴当x=55时，w取得最大，w最大=2250元．
答：若商店要获得最大利润，则销售定价为55元，商店应进货150个．
分析：（1）根据利润=销售量×（售价-单价），求解即可；
（2）根据售定价，可表示出销售量，总利润=销量×单件利润，根据商店获利2000元，可得出方程，解出即可．
（3）根据利润表达式，利用配方法求最值即可．
点评：本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解，注意配方法求二次函数最值的应用．