如图所示，某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用一堵旧墙，其余各面用木棍围成栅栏，该校计划用木棍围出总长为24m的栅栏、设每间羊圈的长为xm．
（1）请你用含x的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L=______，三间羊圈的总面积S=______；
设宽为x，（2）S可以看成x的______，这里自变量x的取值范围是______；
（3）请计算，当羊圈的长分别为2m、3m、4m和5m时，羊圈的总面积分别为______m²、______m²、______m²、______m²，在这些数中，x取______m时，面积S最大．

如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm²．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）求当边长增加多少时，面积增加8cm²．

如图，在直角坐标系中，抛物线与坐标轴分别交于A（0，3），B（

3

，0），C（3

3

，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切于点E，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

1

2

x+b(b＞0)分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标．
（2）若点P关于x轴的对称点为P′，试求经过M、N、P′三点的抛物线的解析式．
（3）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．
（4）若在直线y=-

1

2

x+b(b＞0)上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．

某公司推出一款新型手机，投放市场以来前3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：
（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；
（2）该公司在经营此款手机过程中，第几月的利润能达到24万元？
（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款手机的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．

如图，已知抛物线与x交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
（3）若点P为第一象限抛物线上一动点，连接BP、PE，求四边形ABPE面积的最大值，并求此时P点的坐标．

如图，已知抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点，（x₁＜x₂）且（x₁+1）（x₂+1）=5
（1）试确定m的值；
（2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；
（3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．

进入三月以来，重庆的气温渐渐升高，羽绒服进入了销售淡季．为此重庆某百货公司对某品牌的A款羽绒服进行了清仓大处理．已知A款羽绒服的销售价格y元与第x天（1≤x≤10，且为整数）之间的关系可用如下表表示：

时间（x天）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
售价y（元/件）	550	500	450	400	350	300	300	300	300	300

在销售的前6天，A款羽绒服的销售数量z₁（件）与第x天的关系式为z₁=20x+40（1≤x≤6且为整数）；后4天（7≤x≤10，且为整数）的销售数量z₂件与第x天的关系如图所示
（1）请观察题中表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出z₂与x之间的一次函数关系式．
（2）若A款羽绒服的进价为每件200元，该专柜共有5个员工，每位员工每天的工资为100元，该专柜每天所需的固定支出为1000元，请结合上述信息，求这10天内哪天的利润最大，并求出这个最大利润．
（3）在第（2）问的前提下，为了提高收益、减少库存，商场在第11天作出以下决定：第11-15天继续维持A款羽绒服的售价，结果每天的销售量均与第10天的持平，同时在第11-15天将B款羽绒服也作为促销商品，而且作为销售重点，已知B款羽绒服的进价仍为200元每件，销售价格比A款羽绒服取得最大利润当天的售价降低了a%，而每天销售量则比第10天A款羽绒服的销量提高了2a%，最后5天A、B两款羽绒服的总利润为27100元，请你参考以下数据，计算出a的值．
参考数据：2.5²=6.25，2.6²=6.76，2.7²=7.29，2.8²=7.84．

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为______．
（2）实践运用
如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
（3）拓展迁移
如图4，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）

跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点o为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax²+bx+0.9．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果身高为157.5厘米的小明站在OD之间且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合函数图象，求出t的取值范围．