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如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴于点A，交直线y=x交于点B．抛物线y=ax²-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点Q为线段OB上一点，点P为抛物线上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长；
（3）若点Q为线段OB或线段BC上一点，点P为抛物线上一点，PQ⊥x轴．设P、Q两点之间的距离为d，点Q的横坐标为m，求m为何值时，d取得最大值，最大值是多少．并直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

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如图，在平面直角坐标中，抛物线的顶点A到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、C两点，OC=4；过A作AB⊥x轴交x轴于点B．
（1）请写出A、C两点的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）设P为抛物线上一点，过P作PH⊥x轴交x轴于点H，试问当P位于何处时，使得以A、B、O为顶点的三角形与以O、P、H为顶点的三角形相似．

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我们知道，二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M（x，y）到定点A（0，

p

2

）的距离与它到定直线y=-

p

2

的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线x²=2py（p＞0）．
（1）已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=-4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．
（2）若（1）中求得的抛物线与一次函数y=

3

16

x+

1

4

相交于B、C两点，求△OBC的面积．
（3）若点D的坐标是（1，8），在（1）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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如图，二次函数y=

1

2

x²+c的图象经过点D（-

3

，

9

2

），与x轴交于A，B两点．
（1）求c的值；
（2）如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
（3）设点P，Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P，Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图②供选用）．

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